贝叶斯理论中全概率公式是：
\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)
\]
这被称为全概率公式（law of total probability）。它是贝叶斯定理中分母 \(P(B)\) 的展开形式。下面我们从基础概率知识出发，一步步讲清楚为什么这个式子成立。
前置：层级的概率空间
概率也是有层级的，\(A\) 和 \(\neg A\) 组成一个全集。在以 \(A\) 为全集时，\(P(B|A)\) 则是一个以 A 为全集时，观察到 B 的一个概率，同理于 \(P(B|\neg A)\) ，这时整个概率空间分成 2 层。
1 层：\(A\) 和 \(\neg A\) 组成第一层概率空间。
2 层：在第一层空间中，划分为 \(A\) 的部分空间中，再次划分出一个更小的空间 \(P(B|A)\)
一、背景：事件空间的划分
设：
\(A\) 表示某个事件（如“这个人有病”）；
\(\neg A\) 表示它的补集（“这个人没病”）；
\(B\) 表示另一个事件（如“检测结果为阳性”）。
因为 \(A\) 和 \(\neg A\) 把所有情况划分得完全且互不重叠，所以我们可以写出：
\[\text{“事件 B 发生”} = \text{“事件 B 与 A 同时发生”} + \text{“事件 B 与 ¬A 同时发生”}
\]
即：
\[P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \neg A)
\]
二、结合条件概率定义
根据条件概率的定义：
\[P(B \cap A) = P(B|A) \cdot P(A) \\
P(B \cap \neg A) = P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)
\]
代入上式：
\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)
\]
这就是你提到的公式。
三、图示理解（推荐）
可以把整个概率空间看作一个矩形：
把它分成两部分：一部分是 A，另一部分是 \(\neg A\)，它们构成全集；
B 是一个“在空间中某些区域发生”的事件，它可以穿过 A 和 \(\neg A\)；
所以 B 在整个空间中的概率，就等于它在 A 区域中发生的概率 + 它在 \(\neg A\) 中发生的概率。
你可以想象一个测试盒子：
一部分人有病 A，另一部分人没病 \(\neg A\)；
每种人都有一定的概率测试出阳性；
那么，总体上有多少人测出阳性，就等于：
有病人测阳性的概率 × 有病人的比例 + 没病人测阳性的概率 × 没病人的比例。
四、再举个例子说明
某城市有 20% 的人是吸烟者（事件 A），80% 不吸烟（事件 \(\neg A\)）。
假设：
吸烟者患某种病的概率是 10%（即 \(P(B|A) = 0.10\)）
非吸烟者患病的概率是 2%（即 \(P(B|\neg A) = 0.02\)）
问：任意一个人患病的概率是多少？
答案：
\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) = 0.10 \cdot 0.20 + 0.02 \cdot 0.80 = 0.036
\]
所以整个人群中有 3.6% 的人会患病。
五、结论
这个公式的逻辑是：
先划分事件空间，再在各个子空间中统计事件 B 的发生情况，最后加总。
这就是全概率公式的核心思想，它是贝叶斯定理中最重要的一块基础。